1. 서 론
개별요소법(Discrete Element Method)은 유한차분법이나 유한요소법, 경계요소법 등과 같은 연속체를 대상으로 해석을 수행하는 것이 아니라 본딩, 대입경 조립재료, 암반절리 등과 같은 불연속체의 역학적 거동을 해석하는데 적용한다. Cundall (2001) 이 연구결과를 향후 클럼프 기법과 함께 다양한 형태의 입상체 수치모델링에 활용하였으며, Owen et al.(2002)은 암반의 미시적 거동분석을 통한 파괴 메카니즘 연구를 수행하였으며, Cho et al.(2004)은 암석과 절리암반의 강도, 변형특성 연구를 실시하였고, Li and Holt(2002)은 수치시험으로 활용 연구를 하였다. McDowell(2003)은 조립재료의 입자 파쇄 및 영향 등의 연구를 실시하였으며, Ting et al.(1989)은 조립재료의 미시적 강도 특성을 수행하였다. 지반공학에서 다루고 있는 많은 현상들은 미시적인 관점에서 각각의 입자 혹은 수많은 입자들로 구성된 복합체의 상호작용 및 거동 등으로 표현되므로, 이러한 관점에서 조립재료의 역학적 거동을 모델링함에 있어 연속체 해석보다 개별요소법이 보다 합리적인 해석 기법이다.
그러나 개별요소법의 기존 연구는 암석과 조립재료를 대상으로, 미시거동 분석과 응용을 위한 입상체 역학 및 관련 수치모델의 개발 차원에서 수행되었으며, 시멘트 혼합토의 본딩 효과를 고려한 분석은 미흡한 것으로 확인되었다. 따라서 본 연구에서는 시멘트 혼합토(soil-cement)의 본딩 효과를 분석하기 위하여 개별요소법 수치모델 프로그램인 PFC3D) 이용한 parallel bonding model로 수행하였다. 수치모델링과 실내시험은 시멘트 혼합토의 재령일에 따른 일축압축강도시험과 시멘트 함유량에 따른 일축압축강도 시험결과를 비교․분석하였으며, 이 결과들을 이용하여 본딩 효과를 고려한 응력-변형 거동 분석과 시멘트 혼합토 적정 미시물성치를 산정하였다.
2. 개별요소법의 이론적 배경 방법
2.1 개별요소법의 생성
지반공학에서 다루고 있는 재료는 입자들의 형상, 거칠기, 배열상태 등과 관련된 입자간의 엇물림 및 회전현상 등에 의해 그 강도와 변형특성이 크게 좌우된다(Owen et al., 2003). 이는 개별요소해석에서도 동일한 현상으로서, 해석 시 개별요소들은 특정두께를 갖는 디스크(2D) 혹은 구(3D) 형태로 생성될 수 있으며, 더욱 복잡한 형태의 요소는 cluster 혹은 clump logic을 통해 생성이 가능하다(Cundall and Strack, 1979; Cundall, 2001; Achmus and Abdel-Rahman, 2002; Hainbüchner et al., 2002; Li and Holt, 2002; Cho et al., 2004).
또한, 해석대상의 초기 간극률 및 특정 입도분포를 모델링하기 위하여 각 개별요소들은 특정 반경범위에 대해 균등분포 또는 정규분포의 형태로 생성될 수 있으며, 그 요소의 개수 및 입경의 조정 등이 필요하게 된다. Fig. 1은 실제 조립재료에 대한 개별요소의 생성개념을 나타낸 것으로서 조립재료의 입도분포, 간극률 등을 고려한 개별요소의 크기와 개수 등을 결정한 후, 접촉면 응력상태 확인을 통하여 초기응력조건 및 요소배열상태 등을 만족시켜야 한다.
일정 영역 내에 원하는 초기 간극률 상태로 개별요소를 생성시키기 위한 방법으로 특정 영역의 경계면 요소를 생성한 후, 특정 반경범위를 갖는 개별요소들을 그 경계면 안에 생성하고, 원하는 초기 간극률이 얻어질 때까지 경계면 요소를 이동시켜 가는 방법이 있다. 그러나, 이 방법은 간극률 만족을 위한 경계면 이동에 의해 초기 해석영역이 달라질 수 있고, 전체 개별요소들의 불평형력 증대로 인해 평형상태로의 수렴속도가 매우 늦어지는 문제점을 수반하게 되므로 복잡한 해석을 수행해야 하는 문제에서는 잘 쓰이지 않는다.
원통형 디스크 형태의 2 차원 개별요소의 경우는 식 (1)을 이용하여 특정 반경범위(
~
)에 대한 개별요소들을 정규분포 등의 형태로 해석 영역 내 임의 위치에 생성한 후, 원하는 간극률 조건을 만족시킬 때가지 초기 생성된 개별요소들의 크기를 확대하는 방식으로 최종 간극률 조건을 만족하는 개별요소들을 생성하게 된다.
(1)
여기서,
: 최종 생성된 개별요소 반경
: 초기에 생성된 개별요소 반경
: 반경 확대계수
(2)
여기서,
: 2차원 개별요소들의 평균 반경
: 개별요소가 생성되는 전체 해석영역 면적
: 생성될 개별요소 수
: 최종 간극률 생성을 위한 초기 간극률
(3)
여기서,
: 생성된 개별요소의 최대 반경
: 생성된 개별요소의 최소 반경
: 개별요소에 대한 최대 및 최소 반경비 이다
(4)
구 형태의 3 차원 개별요소의 경우, 기본적으로는 2 차원 경우와 동일한 방식으로 개별요소들을 생성하게 되지만, 구에 대한 개별요소의 3차원적 면적 및 3 차원 간극률 산정 방식의 차이로 인해 특정 간극률 조건을 만족시키기 위한 개별요소들의 평균 반경은 아래 식 (5)와 같이 2 차원 경우와 다르게 표현된다. 특정 반경범위에 대한 개별요소들을 정규분포 형태로 생성하거나, 원하는 간극률 조건을 만족시킬 때가지 초기 생성된 개별요소들의 크기를 확대하는 방식은 2 차원의 경우와 동일하다.
(5)
여기서,
: 3 차원 개별요소들의 평균 반경
: 3 차원 개별요소가 생성되는 전체 해석영역 체적
: 생성될 개별요소 수
: 최종 간극률 생성을 위한 초기 간극률
2.2 개별 입자간 접촉모델
개별요소법에서의 거동은 최소 1개 이상의 접촉점을 갖는 개별요소간 또는 개별요소–경계면 간의 상호작용을 통해 발생한다. 일반 연속체 역학에서는 각 해석요소에서의 비선형적 응력-변형 거동을 산정하는데 있어 매우 복잡한 구성방정식의 도입이 필수적이다. 그러나 개별요소법에서는 이러한 복잡한 비선형적 거동이 간단한 몇 가지의 접촉모델로 표현된다. 접촉모델이란 개별요소들 간의 접촉점 및 개별요소와 경계면 간의 접촉점에서의 물리적 거동을 나타내는 구성 모델이라 할 수 있다. 개별요소법에서 사용되는 접촉모델은 크게 강성모델, 미끄럼모델과 접착모델로 구분된다.
접착모델은 입자의 접점에 작용하는 인장, 압축 전단응력 및 모멘트에 대한 저항강도를 제공한다. 이런 접착모델은 재료의 강도가 재료내부의 국부 응력집중에 의한 개별요소 주변의 점착강도에 지배되는 암석과 같은 취성재료의 모델링에 적합하다. 반면 조립토나 쇄석 등의 비점착성 재료는 일반적으로 응력변형거동이 대부분 응력 경화현상을 보이고, 이러한 재료의 거동모델은 단순히 접점에서의 강성 및 마찰에 좌우되므로 강성모델과 마찰모델이 주로 쓰인다. 그러나, 이러한 접점에서 작용하는 모델들은 상호 독립적으로 사용되는 것이 아니라 동시에 같이 쓸 수도 있다.
2.2.1 Contact bonding model
Contact bonding model은 접촉면적을 무시할 있는 두 요소간 한 접촉점에서의 수직 및 전단방향에 대한 인장강도를 부여하는데, 작용력의 수직 및 전단성분이 소정의 성분별 강도를 넘어서게 되면 두 요소간 접착은 파괴된다. 두 요소 간의 접착이 유지되는 동안은 두 요소의 미끄러짐이 구속되지만, 두 요소의 회전에 대한 저항력은 없도록 고려된다. 그러나, 만약 개별요소가 단 한 점에서만 접촉되어 있는 조건이라면, 미끄러짐이 발생하지 않는 상태에서 개별요소의 회전은 허용된다. Contact bonding model은 인장력에 대한 수직 및 전단 저항의 한계를 규정함으로서 특정 조건에서 개별요소들간의 분리를 방지하기 위해 사용되는 경우가 많다.
2.2.2 Parallel bonding model
Parallel bonding model은 개별요소간 접촉점에 접착이 부여된 후, 접촉점에서의 하중 및 모멘트에 대한 저항력을 제공한다. 이 모델은 일정 접촉면적을 가지는 개별요소간의 접촉점 거동을 규정하는 것으로서 접촉점에서의 미끄러짐 없이 개별요소가 회전하는 현상을 방지하고, 개별요소들간의 고결 효과를 표현하기 위해 사용될 수 있다.
2.3 접착 재료에 대한 미시 물성치
원형입자의 결합체로 이루어지는 해석모델의 각 접촉 입자간의 결합형태는 접촉결합과 병렬결합의 두 가지 모델이 있다. 접촉 결합 모델에서는 인접 요소간의 접촉점에서 일정한 수직강성 및 전단강성을 갖는 한 쌍의 스프링 거동으로 표현되는데 이 스프링은 규정된 인장강도 및 전단강도를 가진다.
반면에, 병렬 결합 모델에서는 입자 요소가 구 또는 디스크 형태로 간주되며, 원 또는 사각 단면에서의 접촉 거동을 나타낸다. 접촉 결합에서는 힘만이 전달되는데 반해 이 모델에서는 힘과 모멘트가 모두 전달되며 원 또는 사각 단면 형태의 접촉면상에 균등하게 분포하는 탄성스프링의 집합체로 거동을 나타낸다.
접촉결합은 법선방향 결합강도, 
와 전단 결합강도, 
, 두 가지 미시물성치에 의해 정의된다. 만약 접촉결합에서 법선방향 결합강도의 크기보다 법선방향 인장강도가 더 크거나 같으면 두 입자 사이의 결합은 깨지며, 접촉력은 0 이 된다. 또한, 전단력이 전단 결합강도를 넘어설 경우도 두 입자 사이의 결합은 깨어지게 된다. 단, 이 경우 전단력이 마찰 한계를 초과하지 않거나 법선력이 입자 사이의 압축력을 초과하지 않을 경우 접촉력의 값은 변하지 않는다.
병렬결합은 법선방향 강성, 
와 전단강성, 
, 법선응력, 
, 전단응력, 
그리고 디스크 반경인 
에 의해 정의되어 진다. 이러한 접촉결합과 병렬결합에 적용되는 미시 물성치를 Table 1 에 종합하여 나타내었고, 각각의 미시 물성치는 calibration과정을 통해 적정 값을 선정하였다.
3. 시멘트 혼합토 일축압축시험
3.1 시험재료
Fig.5는 시멘트 혼합토를 조성하기 위한 주재료인 점토의 기본물성시험 결과로서 자연함수비는 60.9~61.5%로 나타났으며, #200체 통과율이 97.6~97.9%, LL은 52.2~52.8%, PI는 25.7~26.0로 통일분류법상 고압축성 점토로 분류되었다.
시멘트의 물리적 성질을 분석하기 위하여 비중, 분말도, 응결시간, 강열감량 등의 시험을 수행하였다.Table3은 시멘트 기본 물성시험 결과로서 모든 시험 항목에서 기준에 만족하는 결과를 얻었다.
3.2 시험조건
시멘트 혼합토의 공학적 거동을 분석하기 위하여 Table 4와 같은 시험조건을 모사하였다. 시멘트 함유율(
)은 점토의 건조시료에 대한 비율로 10, 15, 20, 25% 로 4 가지 조건으로 설정하였다. 또한, 함수비(
) 조건은 110.81%, 155.41%로 2가지 조건으로 조성하였다.
물-시멘트 비는 현장에서 많이 사용하고 있는 80%로 정하였으며, 바닷가 근처에서 채취한 시료이므로 해수에 영향을 고려하여 염분비를 3‰로 보정하였다. 재령기간은 초기와 장기에 미치는 영향을 분석하기 위하여 7, 14, 28, 60, 90day로 설정하였으며, 시멘트 혼합토가 물로 완전히 포화된 것으로 가정하여 습윤양생으로 수행하였다. 양생온도는 콘크리트 양생온도와 같은 조건인 20±2°C로 한 후, 시멘트 혼합토의 일축압축강도 시험은 2개를 실시하여 평균값을 구하여 시멘트 혼합토의 거동을 비교․분석 하였다.
3.3 시험방법
실험과정은 먼저 계량할 시료를 준비한 후, 시멘트와 물을 125rpm으로 1분간 혼합하였고, 점토는 각 함수비 조건마다 200rpm으로 2분간 믹싱 후 재성형 점토의 함수비를 측정하였다. 이후 시멘트 페이스트와 점토를 같이 섞어 200rpm으로 2분간 교반 후 50mm×100mm 크기의 강제 몰드 안에 투입했다. 시료 내에 일률적인 다짐과 간극을 제거하기 위하여 7,000rpm인 소형 진동다짐기를 이용하여 1분 동안 다짐을 실시하였다.
공시체 제작 후 바로 해체 시 자립이 불가능하고, 응력-변형 등에 영향을 미치므로 제작 후 1일 이후에 몰드를 탈형 한 후 현장과 같은 조건을 모사하기 위해 20±2°C인 해수 안에서 7~90 일 동안 습윤양생을 수행하였다. 일정한 재령 기간을 가진 공시체는 일축압축강도시험을 수행하였다.
4. 혼합토에 대한 개별요소 수치 모델링
4.1 개별요소 생성
본 연구에서는 시멘트 혼합토를 이용한 실내 일축압축시험 과정을 개별요소 방법으로 수치모델링을 수행하였으며, 개별요소해석에 사용된 시료는 실내시험에 사용되었던 시료의 1/10 크기로 축소하여 5mm×10mm으로 적용하였다. 원통형 실린더 형태의 경계면 내에 구(球)형의 개별요소들을 생성, 상하 및 측면에 총 3개 경계면에 의해 구속되도록 초기 개별요소를 생성하였다.
각 경계면은 임의의 응력조건으로 구현 하였으며, 단 일축압축시험을 모사하기 위하여 입자들의 packing 종료 시 측면의 실린더 경계면은 제거하였으며, 또한 상부 및 하부 경계면은 축하중을 재하하는 가압판으로 모사하였다. 개별요소의 반경은 
=0.2mm~
=0.21mm 범위로 설정하였으며, 정규분포형태로 임의 위치에 균등하게 분포되도록 생성하였다. 접촉점 구성모델은 bonding(parallel bonding) 모델을 적용하여 해석하였으며, 특정 응력-변형 시험결과에 부합하는 적정 미시물성치를 산정하였다. Table 5와 Fig.7은 ball을 생성하기 위한 조건이며, 생성 후 그림이다.
4.2 시멘트 함유율에 따른 일축압축강도 수치 모델링
개별요소 수치해석을 위해 점토 함수비 110.81%와 155.41%의 두 조건을 재령일 28일과 시멘트 함유율 10, 15, 20, 25% 로 선정하여 수행하였다. 본 연구에서는 시멘트 혼합토 공시체에 대한 일축압축시험 결과를 대상으로, parallel bond model 을 적용한 개별요소 모델링을 수행하였으며, 각각의 시멘트 함유율에 대한 시험결과를 이용하여 별도의 미시 물성치를 산정하였다. 점토 함수비를 고려하기 위해 ball stiffness을 각각 
: 7.0×102, 
: 7.0×102으로 달리 적용하였다.
시멘트 혼합토의 초기 개별요소를 생성하기 위해 parallel bond contact model을 적용하고, 측벽 경계면이 제거된 상태에서 입자의 이탈 현상 없이 일축압축시험 모사를 수행하였다. Calibration 과정 중, 점토의 함수비에 따라 ball property 를 달리 적용해야 하였으며, 점토의 함수비가 높을수록 낮은 ball stiffness(normal, shear)를 적용하는 것이 적절하였다.
시멘트 함유율에 따른 각 경우별 적정 미시 물성치 산정 과정에서 일축압축강도에 영향을 주는 parallel normal(
) & shear(
) strength 를 제외한 나머지 bonding parameter 는 고정하고 반복 해석을 수행하였다. Fig. 8은 개별요소 수치해석 결과와 실내시험의 결과를 점토 함수비에 따른 시멘트 함유율로 비교 한 것으로, 수치해석결과와 실내시험의 응력-변형률 곡선의 경향은 매우 흡사한 것으로 나타났다. 기존의 2차원 개별요소 수치 모델의 경우 응력-변형률 관계를 나타내는 것은 매우 어려운 과정이었으나, Fig. 8의 결과에 따르면 3차원 수치 모델링에서는 실제 실내시험 결과와 매우 유사한 예측이 가능함을 알 수 있다.
개별요소해석의 가장 큰 특징은 정해진 대표 물성치들을 입력하여 해석하는 것이 아닌, 각 입자들 간의 상호거동을 표현하는 미시 물성치를 산정하고, 이를 적용하여 전체적인 해석을 수행한다는 점이다. 즉, 개별요소법을 이용한 해석에서 해석 대상의 전체적인 거동을 적정하게 표현할 수 있는 미시 물성치의 산정은 매우 중요한 과정이다.
Table 6은 수치해석 결과 데이터로 점토 함유율에 따른 시멘트 함유율에 응력-변형 거동에 영향을 주는 미시 물성치 결과값이다. 
(Pa)와 
(Pa)는 탄성영역을 표현하는 것으로 이를 실내시험결과와 일치하기 위해서는 반복시행법으로 결과를 얻어낸 후에 parallel normal(
) & shear(
) strength를 실내시험결과와 일치시켰다. 미시적 물성치인 parallel normal(
) & shear(
) strength는 시멘트의 함유율이 증가함에 따라 비례적으로 증가하였다.
Fig.9는 각 조건의 점토 함수비에 따른 시멘트 함유율 증가의 parallel bonding strength 변화를 도식한 것이다. 미시적 물성치(
, 
)를 시멘트 함유율 10% 일 때와 20%를 비교한 경우 점토 함수비 110.81%는 4.6배, 155.41%는 1.0 배로 함유율 20% 가 큰 것으로 나타났으며, 또한 점토 함수비 110.81%가 155.41% 보다 최소 1.0~최대 3.0배 크게 도출되었다. 이는 실내시험결과와도 같은 경향을 나타내고 있어, 본 연구의 신뢰성을 입증할 수 있었다.
4.3 재령기간에 따른 일축압축강도 수치 모델링
시멘트 혼합토 공시체에 대한 일축압축시험 결과를 대상으로, 점토 함수비 110.81%, 155.41%와 시멘트 함유율 20%에서의 재령일수에 대한 시험결과를 이용하여 조건에 맞는 미시 물성치(micro parameter)를 산정하였다. 점토 함수비를 고려하기 위해 ball stiffness는 
: 7.0×102, 
: 7.0×102로 달리하여 적용하였다.
Fig. 10은 재령일에 따른 응력-변형률을 DEM과 실내시험 결과로 비교․분석한 것으로, 두 결과 모두 응력-변형률 초기거동은 직선의 형태를 나타내고 있을 뿐만 아니라 최대강도를 나타내고 있어 취성파괴 형태를 나타내고 있다. 수치해석과 실내시험 결과는 거의 모든 조건에서 유사한 거동을 나타내고 있다는 것을 확인할 수 있어, 개별요소법은 본딩 효과를 매우 적정하게 표현할 수 있는 수치해석임을 증명하였다.
각 조건의 점토 함수비 및 시멘트 함유율에서 재령일수에 따른 응력-변형률 거동을 개별요소해석을 통해 모사하였으며, 동일한 시멘트 함유율에서 점토의 함수비가 낮을수록 parallel bonding strength 의 값은 더 큰 경향을 나타내었다.
특정 점토 함수비에서 재령일수가 길어짐에 따라 일축압축강도는 증가하고, 이는 적정 미시물성치 산정 과정에서 parallel normal(
) & shear(
) strength가 증가하였다. 단, parallel normal(
) & shear(
) stiffness는 Young’s modulus에 영향을 주지만 그 영향이 작으므로 일정 범위 내에서 고정하고 parallel normal(
) & shear(
) strength를 이용해 Calibration 하는 것이 적절할 것이다.
Fig. 11은 재령일에 따른 parallel bonding strength 관계를 나타낸 것으로, 점토함수비가 적고, 재령일수가 증가할수록 미시적 물성치는 증가하였다. 또한, 재령일 7일과 90일을 비교했을 경우 각 점토 함수비에 따라 1.62 배, 3.57 배로 재령일 90일이 크게 도출되었다.
점토 함수비에 따른 재령일에 관계를 비교했을 경우, 점토 함수비 110.81%가 최소 1.2~최대 2.6 배 높게 산정되었다. 재령일이 길어질수록 강도변화폭은 적게 발생하는 것으로 나타났으며, 이러한 경향은 실내시험과도 어느 정도 유사한 결과를 나타내었다. 본 연구에서 개별요소법으로 구한 시멘트 혼합토의 미시적 물성치를 공학적 거동 분석에 사용할 뿐만 아니라 실제 설계정수 산출 시 활용할 수 있을 것이다.
5. 결 론
최근, 기존의 한계성을 극복한 시멘트 혼합토(soil-cement)의 본딩 효과 산정 및 거동 해석 시 개별요소 수치모델(discrete numerical model) 의 도입이 증가하고 있으며, 미시적 거동분석 및 기존 해석방법으로는 표현이 어려운 현상을 대상으로 개별요소법(particle based method)의 활용이 더욱 증가할 것으로 예상되고 있다.
본 연구에서는 개별요소해석 프로그램 PFC3D)를 이용하여 시멘트 혼합토(soil-cement)에 대한 거동예측 및 실내시험 결과와의 분석을 수행하였으며, 시멘트 혼합토에 대한 실내시험은 재령일을 고려한 일축압축강도시험과 시멘트 함유량에 따른 일축압축강도시험을 수행하였으며, 각 실내시험 조건에 적합한 개별요소해석을 수행하였다. 그에 대한 결론은 다음과 같다.
미시물성치(micro parameter) 산정과정(calibration process)을 통해 다양한 조건의 실내시험 결과에 대한 미시물성치의 산정이 가능했으며, 동일 미시 물성치를 적용하되 각 조건을 달리한 개별요소해석을 실시한 결과, 실제 실내시험 결과와 유사한 예측결과를 보였다.
즉, 실내시험 결과와의 개별요소 수치모델링을 통해 산정된 시멘트 혼합토의 미시 물성치는 구성재료와 점토 함수비, 시멘트 함유율 등의 초기조건만 동일하다면 다양한 응력조건 및 경계조건에 대한 개별요소해석에 적용될 수 있으며, 기존의 유한요소 및 유한차분방법과 같이 본딩 효과를 나타내기 힘든 지반공학적 예측이 개별요소해석을 통해 가능하다는 것을 의미한다.
이는 개별요소해석의 다양한 확장성 및 응용성을 의미하는 것으로서, 개별요소해석이 지반공학적 측면에서 시멘트 혼합토의 본딩효과에 대한 미시적 거동(micro behavior) 및 전체적 거동(macro behavior)의 예측뿐 아니라, 스케일 측면에서 실내 및 현장시험이 어려운 경우에 대한 수치시험실(numericallaboratory)로서 활용될 수 있음을 나타낸다.
