1. 서 론
구조물기초, 옹벽, 사면과 같은 지반구조물에 대한 전형적 문제를 해석하는 경우, 변형과 안정성을 분리시켜, 각각의 해석법에 의하여 적용, 분석되어져 왔다. 사면안정해석법으로는 한계평형이론(LEM)에 의한 절편법, 소성론에 의한 극한해석법, 유한요소법 등이 제안되어져 있다(Anderson and Richards 1987; Duncan, 1996). 사면안정해석은 전통적으로 한계평형이론에 따른 절편법에 의해 수행되었다. 이 방법은 적용성이 다양하고, 간편하여 널리 사용되고 있다. 그러나 한계평형법은 파괴모드를 전제로 한 해석이므로 해석가정에 따라서 최소 안전율값이 다르며, 파괴메커니즘과 이를 제어하기 위한 상세거동정보를 제공하지는 못한다(Abramson et al., 1996). 또한, 3차원 LEM해석은 파괴형상을 가정하므로 복잡한 지형을 모델링하기 어렵고, 3D 단부효과(end effects)를 고려하기가 매우 어렵다(Stark and Eid, 1998). 한편, 유한요소법은 형상을 매우 자유롭게 가정할 수 있으므로, 2차원모델을 3차원 사면모델로 쉽게 확장 적용할 수 있다, 최근의 컴퓨터의 소프트웨어(S/W)와 하드웨어(H/W)의 발달로 유한요소방법으로 지반의 파괴거동에 대하여 변형과 파괴과정을 분리하지 않고 초기변형부터 파괴에 도달할 때 까지 연속적으로 분석할 수 있게 되었다(Ugai and Leshchinsky, 1995; Grifffith and Lane, 1999).
기존의 사면안정해석은 평면변형율을 가정하는 2차원 해석이 일반적으로 널리 사용되고 있다. 이 가정은 사면활동이 넓은 영역에 걸쳐서 발생되는 가정이므로, 파괴활동 토체 옆면에서 발생되는 저향력을 무시하여 3D 단부효과를 고려할 수 없다. 대다수 연구에서 사면안정에 대한 2차원해석의 최소 안전율값은 단부효과가 고려되는 3차원해석에 비하여 작게 평가되는 보수적인 결과를 나타낸다(Griffith and Marquez, 2007; Duncan, 1996). 최근에는 보다 복잡한 3차원 사면안정해석을 요구하는 경우가 증가하고 있다. 이러한 3차원해석은 이제까지 취급하기 복잡한 지형형상 및 지반조건을 고려하여 보다 더 정밀한 해석이 가능하다.
2차원 사면안정해석 방법으로 역해석을 통해 얻은 지반정수는 다음과 같은 3차원 효과를 고려한 보정계수를 곱하여 수정하는 방법이 Skempton(1985)에 의해 제안되어 있다.
(1)
여기서, 
는 3차원해석으로 얻는 지반강도, 
는 2차원해석으로 얻는 지반강도, K는 토압계수, D는 평균 사면깊이, B는 사면폭이다. 이 보정계수의 일반적인 값은 5%정도로 보고되었다. 그러나 다른 연구결과에 의하면 30%정도의 값을 갖는 경우도 있는 것으로 조사되었다(Stark and Eid, 1998).
2차원해석에 대한 3차원해석의 최소안전율비(
)가 비배수 점토사면의 경우에는 1.07~1.3으로 보고되었다(Azzouz et al., 1981). 또한, 균질한 점성이 없는 사질토사면의 경우에는 얕은 사면활동이 예상되며, 그러한 무한사면 활동파괴의 경우에는 2차원, 3차원해석에 의한 사면안전율 값 차이가 발생되지 않은 것으로 알려져 있다(Hutchinson and Sarma, 1985).
3차원해석과 차이가 많이 발생되는 사면활동은Fig. 1과 같은 원호활동 파괴 보다는 Fig. 2와 같은 병진활동(translational mode)파괴 시에 발생되는 것으로 알려져 있다. 병진활동 파괴는 사면 아래 지반이 연약한 지층으로 이루어진 다층지반에서 많이 발생되며, 연약한 아래지반의 경계층을 따라서 활동하는 사면파괴를 발생시킨다. 이러한 병진활동이 원호활동보다 단부효과가 크게 발생되는 이유에 대하여 다음과 같이 설명한다(Stark and Eid, 1998).
1.사면의 단부에서 발생되는 활동 전단저항은 사면바닥에서 발생되는 전단저항과 다른 강도를 발휘한다.
2.병진활동 파괴는 사면아래 연약한 지반경계를 따라 발생되며, 그 지반경계 기울기가 완만할수록 단부효과가 커지며, 그 차이로 2차원과 3차원해석 결과 값이 달라진다.
3.연약한 지반을 경계로 비원호활동이 발생되어, 병진활동을 일으킨다.
4.균일한 사질토 지반보다는 균일한 점성토지반에서 단부효과가 더 커진다.
본 논문은 사면안정해석 시 더 정밀하고 다양한 분석을 할 수 있는 3차원 유한요소법의 적용을 위하여, 3차원 사면안정해석 시 계산결과에 미치는 요인인 매개변수(요소망크기, 체적팽창각, 경계조건, 응력이력, 모델차원)에 따른 영향을 분석하였다.
2. 강도감소법에 의한 유한요소 사면안정해석법
사면안정해석 시 요구되는 최소안전율을 구하기 위해서는 전단강도에 관한 안전율(
)을 아래식과 같이 정의하여 가상 활동면에 발휘되는 전단응력의 비를 판단하여 사면전체가 안정인지 아니지 판단하게 된다.
(2)
여기서, 
는 전단강도, 
는 활동전단응력이다.
유한요소법으로 사면안정해석을 수행하는 방법은 다음과 같은 강도감소법(strength reduction method)으로 해석한다. 강도감소법은 사면의 형상에 중력하중을 가하여 발생되는 응력을 계산하여, 사면의 파괴활동이 발생될 수 있도록 그 지점의 전단강도를 안전율로 나누어 모아원이 파괴포락선에 접하도록 응력상태를 보정한다. 이러한 파괴점이 증가함에 따라서 사면이 전반적인 파괴가 발생된다. 그 때의 유한요소해석에서는 계산이 발산이 되어 더 이상의 해석이 진행되지 않은 상태로 되며, 그 한계값이 사면의 최소안전율로 정의한다. 계산방법은 주어진 사면의 탄성계수와 포아슨 비는 일정하게 간주하고, 점착력 c, 마찰각 
는 아래와 같은 식으로 점진적으로 감소시켜 계산이 발산이 되는 지점의 안전율을 최소안전율 F로 계산하는 것이다(Matsui and San, 1992).
(3)
3. 사면모델에 대한 수치해석
본 논문에서는 위에서 설명한 강도감소법에 따른 유한요소방법을 이용하여 Fig. 3와 같은 원호활동, 병진활동모델 사면으로 나누어 사면안정해석에 미치는 영향을 검토하였다. 유한요소방법에 의한 사면안전해석에서는 탄성계수 및 포아슨값(0.1~0.45)의 변화에 따른 최소안전율계산에 미치는 영향은 거의 없는 것으로 알려져 있다(Kim, 1999). 본 논문에서는 사면안정해석 시, 최소안전율 계산에 미치는 주요인으로 요소망의 크기, W방향(사면폭) 경계영역, 체적팽창각, 응력이력, 벽면구속에 대한 해석 경우로 나누어 각 경우에 대하여 분석하였다(Table 1 참조). 본 모델사면에 적용한 재료정수 값 및 사면크기는 Table2, Table 3와 같다. 유한요소해석 시 적용된 경계조건은 사면모델 양 옆면(3D 경우) 및 앞, 뒤 면은 롤러지지, 바닥면은 힌지지지로 가정하였다(Table 4참조). 3차원 해석의 경우에는 사면의 W방향(사면의 폭)의 범위경계를 W=0.5H로 가정하였다. 계산에 사용한 FEM 프로그램은 델프트공대에서 개발한 Plaxis 프로그램을 사용하였다(Brinkgreve and Vermeer, 2004). 한계평형법(LEM)에 의한 해석방법은 간편하고, 실무에서 많이 활용하는 간편 Bishop방법으로 계산하였다(Duncan, 1996). 사용한 LEM 프로그램은 Slide 프로그램을 이용하여 계산하였다. 우선, LEM에 의해 계산된 결과를 살펴보면 원호활동모델의 경우 최소안전율이 1.313으로 평가되었으며, 병진활동모델의 경우 원호파괴형태로 가정한 경우 1.313, 비원호 파괴형태로 가정한 경우는 1.052로 평가되었다(Fig. 4참조).
* mean displacement of x, y, z
3.1 요소망 크기에 대한 영향검토
유한요소해석에서는 기본적으로 절점과 절점사이를 선형관계로 간주하므로 요소 의 크기가 작아질수록 보다 정밀한 해석이 가능하다. 2개의 사면모델(원형활동, 병진활동)에 대하여 요소망의 크기를 느슨, 보통, 조밀한 경우로 나누어 요소망 크기에 따른 사면파괴활동에 대하여 분석하였다. 2차원 해석의 경우 느슨한 망의 경우에는 요소수 72개, 보통망의 경우에는 요소수 159개, 조밀한 망의 경우는 744개이며, 3차원 해석의 경우 느슨한 망의 경우에는 요소수 72개, 보통망의 경우에는 318개, 조밀한 망의 경우는 762개로 모델링하였다(Fig. 6 참조). 2차원 해석에 사용한 요소는 15절점 삼각형요소이며, 3차원 해석에 사용한 요소는 15절점 쐐기요소이다.
2차원 및 3차원 유한요소법에 의해 계산된 각 모델에 대한 파괴거동을 살펴보기 위하여 파괴 시 발생되는 증분 최대전단 변형율도를 Fig. 5, Fig. 6에 표시하였다. 원호활동모델의 경우 파괴모드는 원호활동형태를 나타내며, 사면의 어깨부에 파괴가 시작되어 사면선단부로 발달되어 가는 것을 알 수 있다. 병진활동모델의 경우 파괴모드는 비원호 활동형태에 가까우며, 파괴의 진행은 원호활동과 반대로 사면의 선단부에서 파괴가 발생되어 사면의 어깨부로 진행되는 것으로 나타났다.
최소안전율 값을 살펴보면 2, 3차원해석 모두, 요소망이 조밀해 질수록 최소 안전율 값이 상대적으로 작게 계산되었다(Table 5, Table 6 참조). 다만, 3차원 해석 시 병진활동모델의 경우, 요소망조밀에 따라 증가하다 감소하는 다소 경향에 벗어나는 결과를 나타내었다. 이러한 진동현상은 해석 프로그램의 계산오차로 생각되어진다. 최소안전율에 대한 2차원 유한요소해석과 2차원 LEM해석결과를 비교하여보면, 조밀한 망 기준으로 원호활동모델경우에서는 LEM해석 값보다 작게 평가 되었으며, 병진활동모델의 경우는 LEM해석 결과 값과 거의 동일하게 계산되었다. 일반적으로 유한요소법에 의한 최소안전율값이 한계평형법의 간편 Bishop방법 보다 작게 평가되는 것으로 알려져 있다. 따라서 보다 정밀한 해석을 하기 위해서는 유한요소해석 시 상대적으로 조밀한 망을 사용하는 것이 바람직하다. 또한 3차원 해석과 2차원해석에 의한 최소안전율비
를 조사하였다(Table 7 참조). 원호활동모델의 경우는 평균 6.3%차이가 발생되었으며, 병진활동모델의 경우는 평균 2.9%차이가 발생되어 보다 더 작게 계산되었다.
3.2 체적팽창각에 대한 영향검토
지반재료의 파괴활동를 분석하는데 있어서 소성변형율의 구속흐름을 제어함에 따라서 파괴변형거동이 다르게 발생되는 것으로 알려져 있다. 유한요소해석에서는 소성변형율을 계산하는 소성포텐셜함수에 체적팽창각을 적용하여 비관련소성흐름(non associative flow rule)으로 계산한다. 파괴 시 지반재료의 체적팽창각은 제로에 수렴하므로 이러한 영향을 고려하기 위하여, 원호활동 사면모델에 대하여 체적팽창각을 0°, 10°, 20,° 30°로 변화시켜 사면에 대한 최소안전율과 파괴활동에 대하여 수치해석을 수행하였다. 2차원 및 3차원 유한요소해석에 따른 최소안전율값을 Table 8에 표시하였다. 결과를 살펴보면 최소안전율값은 체적팽창각이 0일 때 가장 작게 평가되며, 팽창각에 따른 최소안전율값 차이는 2차원경우 최대 0.041(3%), 3차원 경우 최대 0.033(2%)으로 상대적으로 작은 변화를 나타낸다. 사면의 파괴활동은 파괴시 발생되는
증분 최대전단변형율도를 살펴보면 체적팽창각이 커질수록 보다 앝은 사면파괴로 변하는 것을 알 수 있다(Fig. 5,Fig. 6참조). 또한 체적팽창각에 따른 2차원 해석에 대한 3차원 해석의 최소안전율비
는 5%내외로 큰 차이가 없었다.
3.3 3차원해석의 W방향 범위 영향검토
유한요소해석으로 3차원해석을 하는 경우는 기하급수적으로 증가하는 요소수 때문에 많은 해석시간이 요구된다. 본 사면모델에 대하여 W방향(사면의 폭)의 범위경계가 해석에 미치는 영향을 검토하기 위하여, W=0.5H, 1H, 3H로 경우를 나누어 해석을 실시하였다. 본 해석에 사용한 조건은 조밀한 망과 체적팽창각 0인 각 사면모델에 대하여 해석을 실시하였다. 각 사면모델에 대한 유한요소해석결과 W방향 범위에 따른 최소안전율값은 Table 9에 표시하였다. 해석결과 그 값은 거의 변동이 없이 일정하고, 파괴활동을 표시하는 파괴 시 최대전변형율도 거의 동일하였다(Fig. 9 참조). 따라서 해석에 이용되는 모델사면의 W폭방향 범위는 사면 양 옆면에 구속이 없는 경우, W방향 범위를 최소한 범위로 한정하여 계산하는 것이 유리한 것으로 나타났다(Ho, 2014).
3.4 사면형성에 따른 응력이력에 대한 영향검토
유한요소해석에서는 시공단계를 모델링할 수 있어 응력이력에 대한 영향을 모사할 수 있다. 각 모델사면에 대한 시공단계를 자연사면, 성토사면, 굴착사면으로 나누어 사면안정해석에 미치는 영향을 검토하였다. 자연사면은 기존의 사면형상에 중력 하중을 가하는 조건이며, 성토사면은 형성된 기초지반위에 성토사면이 시공되어 중력하중을 가하는 조건이며, 굴착사면은 형성된 기초지반에서 사면부 이외가 굴착되어 굴착력이 지반에 하중을 가하는 조건이다. 해석조건은 조밀한 망과 체적팽창각 0°, W=0.5H(3차원 해석)인 경우로 설정하여 계산하였다.
유한요소해석에 의한 사면의 파괴거동를 살펴보면 원호활동모델 및 병진활동모델 모두, 성토사면의 경우보다 절토사면의 경우가 보다 깊은 사면 파괴활동을 나타내었다(Fig. 10, Fig. 11 참조). 또한, 각 모델사면에 대한 응력이력에 따른 최소안전율값은 큰 차이가 발생되지 않았다(Table 10 참조).
3.5 벽면구속에 따른 영향검토
3차원해석에서 고려할 수 있는 벽면구속효과를 분석하기 위하여 가상 벽면지반(soil3)을 가정하여 사면의 폭 크기에 따른 구속효과를 모사하였다(Fig. 2 참조). 본 해석에서는 굴착사면으로 가정하고, 폭 W1 사면을 굴착하고, 벽면구속을 위하여 강도정수가 매우 큰 가상벽면(soil3; 폭 5m)을 가정하였다. 굴착폭 W1의 크기를 1H, 3H, 5H로 나누어 원호 및 병진사면모델에 대하여 최소안전율과 파괴활동에 대하여 분석을 하였다. 해석에 사용한 조건은 계산시간 단축을 위하여 요소망이 보통, 체적팽창각 0°의 조건으로 계산하였다. 원호활동모델의 유한요소해석결과를 살펴보면 W1=1H 경우, 
; W1=3H 경우, 
; W1=5H 경우, 
; W1=
경우(가상벽면이 없은 경우), 
로 계산되어 벽면구속거리가 멀어질수록 최소안전율값은 작게 평가되며, 그 변화비(
)는 3%정도로 상대적으로 작다. 병진활동모델의 해석결과를 살펴보면 예상되는 바와 같이 벽면구속거리가 멀어질수록 최소안전율값은 작게 평가되며, 그 변화비는 16%정도로 상대적으로 크게 나타났다(Table 11참조).
4. 결 론
유한요소법으로 원호활동모델과 병진활동모델에 대하여 3차원 해석을 수행하여 주요인으로 요소망의 크기, W방향 경계영역, 체적팽창각, 응력이력, 벽면구속거리에 대한 사면파괴해석에 미치는 영향에 대하여 분석하였다. 분석한 결과를 요약하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.
(1) 보다 조밀한 망을 사용할수록 최소안전율값은 상대적으로 작게 계산되며, 2차원해석에 대한 3차원해석의 안전율비
는 원호활동모델의 경우는 평균 6.3%차이가 발생되었으며, 병진활동모델의 경우는 평균2.9%차이가 발생되어 원호활동보다 더 작게 단부효과가 발생되었다. 이것은 일반적으로 병진활동모델의 경우가 단부효과가 더 큰 것으로 알려져 있으나 본 해석의 경우는 다소 다른 결과를 나타내었다.
(2)강도강소법에 의한 유한요소해석시 체적팽창각이 0°일 때 사면에 대한 최소안전율값은 가장 작게 계산되었다. 체적팽창각에 따른 최소안전율값 차이는 2차원해석 경우 최대 0.041(3%), 3차원해석 경우 최대 0.033(2%)으로 상대적으로 작은 변화를 나타내며, 사면의 파괴활동은 체적팽창각이 커질수록 보다 앝은 사면파괴를 나타낸다.
(3)원호활동모델 및 병진활동모델사면에 대한 3차원 유한요소해석결과는 W방향(사면폭) 범위에 따른 최소안전율값 및 파괴거동은 거의 영향이 없이 일정하다.
(4)2, 3차원 유한요소해석에 의한 응력이력에 따른 사면의 파괴거동를 살펴보면 원호활동모델 및 병진활동모델 모두, 성토사면의 경우보다 절토사면의 경우가 보다 깊은 사면 파괴활동을 나타내었으며, 응력이력에 따른 최소안전율값은 큰 차이가 발생되지 않았다.
(5)벽면구속효과를 살펴보면 원호활동모델 경우 벽면구속거리가 멀어질수록 최소안전율값은 작게 평가되며, 그 변화비는 3%정도로 상대적으로 작다. 병진활동모델경우 벽면구속거리가 멀어질수록 최소안전율값은 작게 평가되며, 그 변화비는 16%정도로 상대적으로 크다.
