1. 서 론

최근 기후변화에 따른 극한강우 및 이상홍수의 증가로 인해 하천 제방과 같은 홍수방어시설의 안정성 확보가 중요해지고 있다. 하천 제방은 홍수 시 배후 지역을 보호하는 대표적인 수공 구조물로서 대부분 흙 재료를 이용하여 축조되며, 반복적인 수위 상승 및 하강에 따라 제체 내부의 침투거동과 간극수압 분포가 시간에 따라 변화하게 된다. 특히 홍수 이후 급격한 외부 수위 급강하(rapid drawdown)는 제체 내부에 잔류 간극수압을 발생시켜 사면 안정성을 저하시킬 수 있으며, 이는 제방 붕괴의 주요 원인 중 하나로 알려져 있다. Guardiani et al.(2022)은 수위 변동이 사면 내부 간극수압 변화와 안정성 저하에 직접적인 영향을 미친다고 보고하였으며, Rossi et al.(2021)은 수리학적 하중 조건에서 제방의 사면안정 및 파이핑에 대한 취약도 곡선을 제시하고 수위 변화와 홍수 지속시간이 파괴확률에 큰 영향을 미친다고 제시하였다.

전통적인 제방 안정성 평가는 안전율(Factor of Safety)을 이용한 결정론적 해석 방법에 기반하여 수행되어 왔다. 그러나 실제 지반은 재료의 불균질성과 공간적 변동성을 포함하고 있으며, 투수계수, 점착력 및 내부마찰각과 같은 지반정수는 위치와 조사 방법에 따라 다양한 값을 나타내기 때문에 단일 대표값만으로 지반 물성의 불확실성을 충분히 나타내기는 어렵다. 이에 따라 최근에는 지반 물성치의 불확실성을 고려하기 위한 확률론적 안정성 해석(probabilistic stability analysis)에 대한 연구가 활발히 수행되고 있다. 특히 Monte Carlo Simulation(MCS)은 입력변수의 통계적 변동성을 직접 반영할 수 있어 제방 및 사면 안정성 평가에 효과적으로 활용되고 있으며, 최근에는 대리모델(surrogate model) 및 확률장(random field)을 활용한 확률론적 안정성 평가 연구도 수행되고 있다. Sun et al.(2024)은 다중 불확실성과 상관된 파괴모드를 고려한 제방의 파괴확률 해석을 수행하였으며, Wang et al.(2022)은 수위 저하 조건에서 확률장 기반의 사면 안정성 평가를 수행하여 수위 변동과 지반 물성치의 불확실성이 안정성 평가에 중요한 영향을 미친다고 보고하였다.

수위 변동에 따른 제방 안정성 문제는 시간의존적 침투거동(transient seepage behavior)과 밀접하게 연관된다. 외부 수위가 급격히 감소하는 경우 제체 내부 침윤선은 외부 수위 변화에 즉각적으로 반응하지 못하며, 이로 인해 제체 내부와 외부의 수압 불균형이 발생하게 된다. 이러한 현상은 유효응력 감소와 전단강도 저하를 유발하여 제방 사면의 불안정을 증가시키는 것으로 보고되고 있다. 하천 제방을 직접 대상으로 한 연구는 아니지만, Jung et al.(2021)은 수위변동을 받는 필댐을 대상으로 수치해석을 수행하여 수위 변화에 따른 제체 내부의 간극수압, 포화도 및 유효응력 변화를 분석하였다. 또한 제체 재료의 투수특성, 불포화 특성 및 기초지반 조건에 따라 침투 및 안정성 거동이 달라질 수 있으므로 시간의존적 침투해석과 사면안정해석을 연계한 평가가 필요하다. 최근에는 실제 제방 및 제체를 대상으로 수위 저하 시 침투거동과 안정성 변화를 분석하려는 연구도 증가하고 있으며, Wu et al.(2024)은 저수위 저하 과정에서 침투 파괴확률(seepage failure probability)을 분석하였고, Meng et al.(2024)은 지층의 불확실성과 공간적 변동성을 고려한 수위 저하 조건의 안정성 해석을 수행하였다.

극한 홍수에 따른 수위 변화 및 월류 등의 다양한 수리학적 하중 조건에서 하천 제방과 같은 홍수방어시설의 확률론적 성능을 평가하기 위해 취약도 곡선(fragility curve)이 활용되고 있다(Simm and Tarrant, 2018; Cho, 2021, 2022; Rossi et al., 2021; USACE, 1996).

취약도 곡선은 특정 하중강도에서 구조물 또는 지반구조물이 한계상태에 도달하거나 초과할 조건부 확률을 함수의 형태로 나타낸다. 제방에서는 수위, 홍수 지속시간 또는 수위 하강속도 등을 하중강도 지표로 사용할 수 있으며, 취약도 곡선을 통해 수위 증가에 따른 파괴확률의 변화를 연속적으로 표현함으로써 단일 수위에서 산정된 안전율 및 파괴확률을 제시하는 것보다 수위 변화에 대한 민감도와 취약성의 증가 구간을 파악하는 데 더욱 유용하다(Cho, 2021, 2022).

국내에서도 제방 안정성에 대한 확률론적 연구가 지속적으로 수행되고 있다. Cho(2022)는 제방의 취약도 곡선 작성을 위한 다양한 신뢰성 해석기법의 적용성을 비교하였으며, Cho(2023)는 수위급강하 조건에서 시간의존적 확률론적 사면안정해석을 수행하여 제방 사면의 취약도 곡선을 제시하였다. 한편 Lee et al.(2026)은 국내 하천 제방의 단면을 대상으로 침투해석과 사면안정해석을 수행하였고, 침투해석으로부터 산정된 수리학적 특성 및 사면 안전율의 관계를 분석하였다. 또한 최근에는 침투해석과 확률론적 안정성 평가를 연계한 연구가 수행되고 있으며, 실제 또는 사례 기반의 댐 및 제방 단면을 이용한 적용 연구도 확대되고 있다.

그러나 기존 연구의 대부분은 특정 단면 또는 방법론 중심의 연구가 주를 이루고 있으며, 실제 하천 제방의 다수 단면을 대상으로 수위 변동에 따른 안정성 변화를 비교·분석한 연구는 상대적으로 부족한 실정이다. 실제 하천 제방은 동일 구간 내에서도 제체 형상, 기초지반 조건 및 재료 특성이 상이하게 나타나므로 수위 변동 시 안정성 거동 또한 차이를 보일 수 있다. 따라서 실제 제방 단면을 대상으로 수위 변동에 따른 침투 및 안정성 변화를 비교하고 취약 특성을 분석하는 것은 유지관리 및 보강 우선순위 결정 측면에서 중요한 의미를 가진다.

본 연구에서는 국내 ○○천 제방의 24개 단면을 대상으로 수위 변동에 따른 비정상 침투해석과 확률론적 사면안정해석을 수행하였다. 먼저 24개 단면의 최소 신뢰도 지수와 최대 파괴확률을 비교하여 대표 취약 단면을 선정하였다. 이후 선정된 CS-01과 CS-22 단면에 대해 초기 고수위를 변화시키면서 수위 급강하 해석을 수행하고, 각 초기수위 조건에서 산정된 최대 파괴확률Pf,max을 이용하여 취약도 곡선을 작성하였다.

2. 해석 방법 및 조건

2.1 전체 해석 절차

본 연구의 해석 절차는 상업용 해석 프로그램인 Slide2의 비정상 침투해석과 결정론적 사면안정해석, PCE 기반 응답면의 구축 및 응답면 기반의 MCS 평가로 구성하였다. 먼저 유한요소법에 의한 침투해석을 수행하여 각 단면의 조사 수위 이력에 따른 시간별 간극수압 분포를 산정하고, 이를 한계평형법에 의한 사면안정 모델에 반영하여 Spencer 방법에 의한 사면안정 해석을 수행하였다. 점착력과 내부마찰각의 확률분포를 고려하여 각 시간 단계의 안전율 분포, 파괴확률 및 신뢰도 지수를 산정하였다.

24개 단면의 선별해석에서는 각 시간 단계마다 50,000회의 MCS를 수행하고, 전체 수위 이력에서 정규분포에 따른 최소 신뢰도 지수βmin와 최대 파괴확률Pf,max을 산정하였다. 그 결과를 이용하여 CS-01과 CS-22를 대표 취약 단면으로 선정하였다. 이후 두 단면에 대해 최저수위와 단면별 수위 하강속도를 유지하면서 초기수위 H를 변화시키고, 각 시간 단계마다 100,000회의 MCS를 수행하여 초기수위 H와 최대 파괴확률Pf,max의 관계를 나타내는 취약도 곡선을 작성하였다.

2.2 비정상 침투해석 및 사면안정 해석

포화·불포화 지반 내 흐름은 Darcy 법칙과 질량보존법칙에 근거하여 해석하였다. 흙의 간극을 통한 흐름이 층류일 때 지반의 임의 점에서의 유속 v와 동수경사 i 사이의 관계는 다음과 같이 Darcy의 법칙이 성립한다.

여기서, k : 투수계수(m/sec)

유체를 비압축성으로 가정하면 지반을 통한 2차원 비정상류 흐름(transient flow)은 연속방정식과 Darcy의 법칙으로부터 다음과 같은 미분방정식으로 표현된다.

여기서, H : 전수두

kx, ky : x와 y 방향의 투수계수

Q : 작용하는 유량

γw : 물의 단위중량

mw : 저류용량(specific moisture capacity)

사면안정성은 한계평형법으로 평가하였다. 전체 힘 평형과 모멘트 평형을 동시에 만족하는 Spencer 방법을 적용하였고, 원호파괴면을 가정하여 최소 안전율을 갖는 임계활동면을 탐색하였다. 한계상태는 안전율 FS가 1.0 미만인 경우로 정의하였다.

2.3 신뢰도 지수

신뢰도는 시스템이 어떤 수행기준에 부합할 수 있는지에 관한 확률론적 척도로 정의되며 신뢰도 해석은 외력과 저항의 관계를 정립함으로써 이루어질 수 있는데, 시스템의 저항 R은 시스템의 강도 및 외력에 견딜 수 있는 하중 및 용량을 의미하고, 외력 L은 파괴를 일으키는 외부적인 부하, 요구 조건을 의미한다(Ahn, 2009).

신뢰도 해석에서 부하와 저항은 단일 한계상태함수로 결합되고 부하가 저항과 같을 때를 한계상태로 정의한다. 신뢰도는 한계상태를 초과하지 않는 확률이며 파괴확률은 한계상태를 초과하는 확률이다. 기본 랜덤변수의 벡터 X=X1,X2,...,Xn에 의해 한계상태함수 g(X)가 정의되며 파괴확률은 다음과 같이 표현되는 적분식으로 정의된다.

여기서, fXX1,X2,...,Xn는 기본 랜덤변수들 X1,X2,...,Xn의 결합확률밀도함수(joint probability density function)이며, 파괴영역에 대하여 적분을 수행한다.

대부분의 실제 문제의 경우, 한계상태함수를 나타내는 기본 랜덤변수들의 결합확률밀도함수를 정의하고 물리적 거동을 나타내는 복잡한 적분 영역에 대하여 n차원의 다중적분을 수행하는 것은 실질적으로는 어렵기 때문에 식(3)을 계산하기 위하여 다양한 확률론적 해석 기법이 사용된다.

사면안정 해석에서 산정되는 안전율은 입력 확률변수와 해석 조건에 따른 출력 변수이기에 그에 대한 확률분포는 사전에 명확하게 규정하기 어렵다. 따라서 본 연구에서는 안전율의 분포 가정에 따른 신뢰도 지수의 차이를 확인하기 위하여 안전율을 정규분포 및 대수정규분포로 각각 가정한 신뢰도 지수 RI(N)와 RI(LN)를 함께 산정하였다.

안전율을 정규분포로 가정하고 FS=1.0을 한계상태로 정의하는 경우, 파괴확률은 다음과 같이 표현된다.

여기서, Φ : 표준정규누적분포함수

β : 신뢰도 지수(reliability index)

사면안정 문제에서 가정하는 안전율의 확률분포에 따라 신뢰도 지수는 다음과 같이 계산된다.

여기서, Fs : 사면의 안전율

EFs : 안전율의 평균

σFS : 안전율의 표준편차

안전율의 확률분포를 모르는 경우 신뢰도 지수는 정확한 파괴확률을 나타내는 지표라기보다 평균적인 안전여유를 표준화한 상대적 지표로 고려된다. 따라서 분포를 모르더라도 서로 다른 제방 단면의 상대적 안전도 비교, 취약 단면의 예비 선별, 보강 전후의 신뢰도 변화 비교 등에 사용될 수 있다. 정확한 파괴확률을 계산하기 위해서는 안전율의 확률분포를 규명하거나 Monte Carlo simulation과 같은 확률론적 해석을 통해 파괴확률을 직접 계산해야 한다.

미공병단(USACE, 1999)의 제안에 따르면 대부분의 지반구조물은 Fig. 1과 같이 신뢰도 지수 1과 5 사이, 파괴확률은 0.16과 3×10-7 사이에 존재한다.

Fig. 1

Target reliability index and probability of failure (USACE, 1999)

2.4 응답면 기법에 기반한 Monte Carlo Simulation

MCS는 확률변수들의 확률분포 특성이 반영된 난수를 발생하여 표본집단을 생성한 후, 한계상태식을 계산하고 이 과정을 충분한 수만큼 반복하여 파괴확률을 추정하는 방법이다. MCS는 지반의 특성을 나타내는 통계적 정보로부터 일련의 랜덤변수를 샘플링하고 각각의 샘플링된 랜덤변수에 대하여 해석을 수행함으로써 제방 사면의 거동을 계산하게 된다. 이러한 과정을 여러 번 반복하면 사면의 파괴확률을 구할 수 있다. MCS는 파괴확률 이외에도 안전율에 대한 평균, 표준편차, 확률분포 등의 정보를 평가할 수 있으므로 제방에 대한 많은 정보를 제공해준다.

그러나 지반의 비선형성과 입력변수의 변동성을 충분히 반영하기 위해서는 많은 횟수의 반복 해석이 필요하므로 많은 비용과 시간이 소모된다. MCS 수행 시 매 표본마다 직접 사면안정 해석을 반복하는 데 필요한 계산 부담을 줄이기 위하여, 제한된 수의 직접해석 결과를 이용하여 입력 확률변수와 안전율의 관계를 근사하는 추계론적 응답면 기법(SRSM, Stochastic Response Surface Method)을 활용하여 MCS를 수행한다.

Slide2는 구성된 응답면 기법을 활용하여 MCS의 수행에 소요되는 과도한 시간을 단축할 수 있는 기능을 제공하며, 이러한 응답면 기법은 Polynomial Chaos Expansion(PCE)를 기반으로 구성된다. PCE는 독립적인 확률변수를 갖는 시스템의 응답을 직교다항식의 조합으로 표현하는 방법으로, 제한된 수의 해석 결과를 이용하여 안전율의 응답면을 구축할 수 있다(Xiu and Karniadakis, 2002; Li et al., 2011). 따라서 비탈면의 안전율에 대한 응답면을 구성하기 위해서 다음과 같은 절차를 따른다.

1. 모든 랜덤변수를 서로 독립인 표준 정규 확률 변수로 변환한다.

2. 안전율을 PCE 형태로 표현한다. Slide2에서는 식 (7)과 같이 3차 Hermite polynomial expansion을 이용하여 안전율 응답면을 구성한다.

여기서, Fs : 응답면의 출력인 안전율

ai1,⋯,in : 결정되어야 할 계수

n : 사면안정 해석에 사용되는 랜덤변수의 수

U=U1,U2,⋯,Uip : 독립인 표준 정규 확률 변수 벡터

Γp=Ui1,Ui2,⋯,Uin : 차수 p의 Hermite polynomial

3. 식 (7)의 계수를 결정하기 위하여 적은 수의 사면안정 해석을 수행한다. 이때 필요한 사면안정 해석의 횟수는 고려되는 랜덤변수의 수 n에 따라 결정된다.

일단 응답면이 구성되면 MCS를 수행하기 위해 샘플링된 랜덤변수들에 대한 사면의 안전율은 직접 사면안정 해석의 수행 없이 식 (7)의 응답면으로부터 쉽게 계산할 수 있다. 따라서 MCS의 시행횟수가 많아도 계산에 소모되는 시간을 크게 줄일 수 있다.

본 연구에서는 24개 단면 중 취약 단면을 선정하기 위하여 PCE 기반 응답면을 이용하여 각 수위변동 시간 단계마다 50,000회의 MCS를 수행하였다. 이후 선정된 취약 단면에 대해 초기수위 H를 변화시키며 각 시간 단계마다 100,000회의 MCS를 수행하고, 각 초기수위 H 조건에서 산정된 최대 파괴확률을 이용하여 취약도 곡선을 작성하였다.

2.5 대상 제방의 단면과 입력 재료 물성

본 연구에서는 국내 ○○천 제방 조사자료에 포함된 총 24개 단면을 해석 대상으로 선정하였다. Fig. 2는 해석 대상을 나타내며, 각 단면의 식별 편의를 위해 CS-01부터 CS-24까지 구분하였다. 여기서 CS는 Cross-Section을 의미한다. 각 단면은 조사자료에 근거하여 제체의 형상, 지층 경계 및 수위 조건을 반영하여 모델링하였다. 지층은 매립층, 퇴적층, 풍화토로 구분하였으며, 점착력과 내부마찰각을 대수정규분포를 따르는 서로 독립적인 랜덤변수로 고려하였다. 단위중량은 변동성이 상대적으로 작아 지층별 평균값을 결정론적 입력값으로 적용하였다. 투수계수는 현장투수시험 결과를 지층별로 산정하였으나, 시험 결과의 산포가 크고 지층별 자료 수가 불균형하며 공간적 대표성을 충분히 확보하기 어려워 확률분포를 설정하기에 한계가 있다고 판단하였다. 따라서 투수계수는 지층별 평균값을 결정론적 입력값으로 적용하였다.

Fig. 2

Cross-sections of the embankment (CS-01~CS-24; dimensions in m)

한편, 점착력과 내부마찰각의 경우 지층별 시험자료의 수가 제한되어 확률분포의 적합성을 통계적으로 충분히 검증하기에는 한계가 있다. 따라서 본 연구에서는 현장자료로부터 대수정규분포가 통계적으로 확인된 것으로 가정하지 않고, 양의 값을 갖는 강도정수의 변동성을 확률론적 해석에 반영하기 위한 모델링 가정으로 대수정규분포를 적용하였다. 이는 Table 1에 나타냈으며, Table 1에 나오는 강도정수는 ○○천 제방 지반조사에서 수행되었던 전체 현장 공내전단시험 자료를 통해 지층별로 분류하여 산정한 값이다.

비정상 침투해석에 필요한 함수특성곡선과 불포화 투수계수함수는 제체 재료가 모래질 흙으로 분류된다는 조건을 고려하여 해석 프로그램에 내장된 기본 함수를 적용하였다. 이는 현장별 불포화 수리특성 자료가 제한된 조건에서 각 24개 단면에 공통되는 수리학적 기준을 적용하기 위한 것이다. 따라서 산정된 파괴확률은 개별 제방의 절대적인 파괴위험을 직접 나타내기보다, 동일한 수리특성 아래에서 단면 형상과 지층 구성에 따른 상대적 취약성을 비교하기 위한 지표로 해석하였다.

수위 급강하에 따른 시간 의존적 확률론적 사면안정 해석을 수행하기 위하여 수위 변동에 따른 침투해석을 수행하였으며, 이때 수위 변동 이력은 수위 상승, 고수위 유지 및 수위 급강하 과정을 포함하도록 구성하였다. 이후 비정상 침투해석으로 산정한 시간별 간극수압 분포를 사면안정 해석에 반영하였으며, 점착력과 내부마찰각은 Table 1에 주어진 정보를 활용하여 샘플링하였다.

Table 1

Input parameters for numerical analysis

Material	Properties	Mean	Standard deviation	Distribution
Embankment Fill	γ (kN/m3)	17.5	-	-
	c (kPa)	8.48	3.71	Log-normal
	φ (˚)	20.15	2.09	Log-normal
	k (cm/sec)	4.51E-03	-	-
Sedimentary Layer	γ (kN/m3)	17.5	-	-
	c (kPa)	8.51	7.73	Log-normal
	φ (˚)	21.55	1.68	Log-normal
	k (cm/sec)	5.47E-03	-	-
Weathered Soil	γ (kN/m3)	19.5	-	-
	c (kPa)	24.63	2.93	Log-normal
	φ (˚)	27.55	1.49	Log-normal
	k (cm/sec)	4.28E-04	-	-

2.6 수위 조건과 취약도 곡선 산정 절차

24개 단면에서 대표 취약 단면 선별을 위한 해석에는 조사자료에서 각 단면에 설정된 수위 상승, 고수위 유지 및 수위 하강 이력을 적용하였다. 따라서 단면별 수위 조건과 수위 하강속도의 차이는 각 단면에 설정된 수위 이력을 반영한 결과이다.

취약도 곡선 작성에서는 대표 취약 단면으로 선정된 CS-01과 CS-22 단면을 대상으로, 최저수위와 단면별 수위 하강속도는 동일하게 유지하면서 수위 급강하 시작 전의 초기수위 H를 단계적으로 변화시켰다. 이때 CS-01과 CS-22 단면에는 각각 1.6m/h와 2.0m/h의 수위 하강속도를 적용하였다. 초기수위 H의 변화는 특정 설계홍수위의 적정성을 판정하기 위한 것이 아니라, 초기수위 H 증가에 따른 각 단면의 최대 파괴확률Pfmax 변화와 취약성이 급격히 증가하는 수위 구간을 파악하기 위한 매개변수 해석으로 적용하였다. 취약도 해석에서 초기수위 H는 CS-01 단면의 경우 15.04~28.20m, CS-22 단면의 경우 17.98~28.15m 범위에서 각각 11개 수준으로 설정하였다.

각 초기수위 조건에서는 정상상태 침투해석을 통해 초기 간극수압 분포를 형성한 후 최저수위까지 수위를 저하시켰으며, 각 시간 단계에서 파괴확률을 산정하였다. 취약도 곡선은 초기수위 H와 해당 수위변동 과정에서 산정된 최대 시간단계 파괴확률Pf,max의 관계로 정의하였다.

따라서 24개 단면의 선별 단계에서는 최소 신뢰도 지수와 최대 파괴확률Pf,max을 비교하여 대표 취약 단면을 선정하였으며, 선정된 두 단면의 상세 해석에서는 단면 간 파괴확률의 크기를 직접 비교하기보다 각 단면에서 초기수위 H 증가에 따른 시간의존적 안정성 변화와 취약도 특성을 분석하였다. 또한 취약도 곡선의 물리적 의미를 확인하기 위하여 초기수위 조건별 H 파괴확률의 시간적 변화와 최대 파괴확률Pf,max 발생시점을 비교하였다.

3. 해석 결과 및 분석

3.1 총 24개 단면의 해석 결과 비교 및 대표 취약 단면 선정

총 24개 단면에 대하여 동일한 비정상 침투해석 및 확률론적 사면안정 해석 절차를 적용하였다. 단면별로 조사자료에 제시된 수위 상승, 고수위 유지 및 하강 이력을 적용하였으며, 각 시간 단계마다 PCE 기반 응답면을 이용하여 50,000회의 MCS를 수행하였다. 먼저 해석 절차와 수위 변동에 따른 안정성 변화의 산정 과정을 설명하기 위하여 CS-01 단면의 결과를 대표 사례로 제시하였다.

Fig. 3은 대표 사례인 CS-01 단면에서 수위 변동에 따른 침윤선의 시간적 변화와 주요 수위 단계에서의 임계활동면 및 안전율을 나타낸다. 수위 상승 및 고수위 유지 단계에서는 외부 수위에 의한 정수압 지지효과가 작용하지만, 수위 하강이 시작되면 외부 수위는 빠르게 감소하는 반면, 제체 내부의 침윤선과 간극수압은 즉시 낮아지지 않았다. 이에 따라 수위 급강하 과정에서 안전율이 감소하고 임계활동면의 위치가 변화하는 것을 확인하였다.

Fig. 3

Probabilistic slope stability analysis results under water level fluctuation (CS-01)

Fig. 4는 CS-01 단면의 시간별 외부 수위, 결정론적 안전율 및 평균 안전율, 신뢰도 지수와 파괴확률의 변화를 나타낸다. 결정론적 안전율과 확률론적 해석으로 산정된 평균 안전율은 전반적으로 유사한 변화의 양상을 보였으며, 평균 안전율은 결정론적 안전율보다 다소 낮게 산정되었다.

Fig. 4

Time-dependent probabilistic stability response of CS-01 under the investigated water-level history

수위 하강 시 안전율과 신뢰도 지수는 감소하고 파괴확률은 증가하였으며, 이후 제체 내부의 간극수압이 소산되면서 안정성이 점차 회복되는 경향을 보였다. 최소 안전율과 최대 파괴확률은 반드시 최고수위 또는 최저수위 시점에서 발생하지 않았으며, 외부 수위와 내부 간극수압의 불균형이 크게 나타나는 수위 하강 과정 중의 과도상태에서 발생하였다. 이는 최고수위와 최저수위의 정적 상태만을 검토하는 것보다 수위 변동에 따른 시간의존적 침투거동을 함께 고려할 필요가 있음을 보여준다.

CS-01 단면에 적용한 해석 절차를 나머지 23개의 단면에 동일하게 적용하였다. 각 단면의 전체 수위변동 시간 이력에서 정규분포 가정에 따른 최소 신뢰도 지수βmin와 최대 파괴확률Pf,max을 산정하였고, 24개 단면의 비교 결과를 Fig. 5와 Table 2에 나타냈다.

Fig. 5

Comparison of minimum normal reliability index and maximum probability of failure for the 24 embankment cross-sections

CS-22 단면은 βmin=-0.17과 Pf,max=0.61을 나타내어 가장 취약하였으며, CS-01은 각각 βmin=0.40과 Pf,max=0.40으로 두 번째로 취약하였다. 그 다음으로 CS-05 단면이 βmin=0.85와 Pf,max=0.19를 나타내어 세 번째로 취약한 결과를 보였다. 반면 나머지 21개 단면의 최대 파괴확률Pf,max은 모두 0.077 이하로 나타났다. 이를 통해 CS-01과 CS-22 단면은 최대 파괴확률Pf,max이 0.4 이상으로 다른 단면과 뚜렷한 차이를 보였으며, CS-05 단면도 나머지 단면보다 상대적으로 높은 취약성을 나타냈다.

본 연구에서 신뢰도 지수가 음수로 나타난 것은 안전율 분포가 FS=1.0의 한계상태보다 파괴영역에 치우쳐 있음을 의미하며, CS-22 단면의 최대 파괴확률Pf,max이 0.5를 초과한 결과와 일관된다. 다만, βmin와 Pf,max는 수위 이력에서 각각 독립적으로 산정한 극값이며, 상호 환산된 한 쌍의 값이 아니다.

모든 단면에 동일한 지층별 점착력과 내부마찰각의 확률분포 및 해석 절차를 적용하였으므로, 단면별 결과의 차이는 주로 제체 및 기초지반의 형상, 지층 경계, 단면별 수위 이력과 수위 변동에 따른 간극수압 응답의 차이에서 발생한 것으로 판단된다. 단면 형상을 비교하면 CS-01과 CS-22 단면은 제외지 방향의 전체 사면 높이가 상대적으로 크고 제체와 하부 지반이 연속적인 복합사면을 형성하며, CS-05 단면은 제체 하부에 상대적으로 급한 하부사면이 발달한 형상을 보인다. 이러한 형상은 활동 토체의 규모와 활동면의 길이를 증가시키고, 수위 저하에 따른 외부 수압의 지지효과 감소에 더 크게 영향을 받을 수 있는 조건을 형성한다.

대표 사례로 제시된 CS-01 단면에서는 임계활동면이 매립층과 퇴적층을 포함하는 영역에 형성되었으며, 수위 급강하 이후에도 제체 내부의 침윤선과 간극수압이 상대적으로 높게 유지되는 양상이 확인되었다. CS-22 단면 역시 시간별 안전율, 신뢰도 지수 및 파괴확률에서 유사하게 안정성 저하를 나타냈다. 다만 CS-22 단면의 상세 공간 해석 결과를 본문에 제시하지 않았으므로 특정 침윤선의 형상이나 활동면 경로를 직접적인 취약 원인으로 단정하지 않았다.

본 연구의 입력 물성에서 매립층과 퇴적층은 풍화토보다 평균 강도가 작고, 퇴적층 점착력은 평균값에 비해 표준편차가 크게 설정되어 있다. 따라서 임계활동면이 이들 지층을 통과하는 경우 MCS 과정에서 낮은 강도정수가 표본 추출될 때 안전율이 1.0 미만으로 감소할 가능성이 커진다.

여기에 외부 수위의 빠른 저하로 정수압 지지효과가 감소하는 동안 내부 간극수압이 지연되어 소산되면서 유효응력과 활동면의 전단저항이 감소하여 높은 파괴확률이 산정된 것으로 판단된다. 이러한 거동은 수위 급강하 시 외부 수압의 지지효과 감소와 내부 간극수압의 지연 소산이 사면 안정성을 저하시킨다는 여러 선행연구의 결과와 유사하다(Alonso and Pinyol, 2016; Siacara et al., 2020; Guardiani et al., 2022; Kim et al., 2023).

CS-05 단면의 상대적으로 높은 파괴확률도 큰 사면 높이, 제체 하부의 급경사 및 퇴적층 분포와 관련된 것으로 추정된다. 다만 본 연구에서는 CS-05 단면에 대한 시간별 침윤선, 간극수압 분포 및 임계활동면의 변화를 별도로 상세 분석하지 않았으므로, CS-05 단면의 취약 원인을 단면 형상만으로 단정하기에는 한계가 있다.

이상의 비교 결과를 바탕으로 최소 신뢰도 지수βmin가 매우 낮고 최대 파괴확률Pf,max이 다른 단면보다 현저하게 큰 CS-01과 CS-22 단면을 대표 취약 단면으로 선정하였다. CS-05 단면도 상대적으로 높은 취약성을 보였으나, CS-01과 CS-22 단면의 최대 파괴확률Pf,max이 CS-05 단면의 최대 파괴확률 Pf,max보다 두 배 이상 크게 나타난 점을 고려하여 이후의 상세 취약도 분석 대상은 CS-01과 CS-22 단면으로 한정하였다.

다만 단면별로 서로 다른 조사 수위 이력이 적용되었고, 파괴확률의 허용기준, 현장별 불포화 수리특성의 직접 측정값, 강도정수의 공간적 변동성, 모델의 불확실성 및 사면활동 이외의 파괴모드는 고려하지 않았다. 따라서 본 연구에서 산정한 파괴확률은 각 제방의 절대적인 파괴위험을 의미하기보다, 동일한 재료 물성 및 해석 체계에서 단면 간 상대적 취약성을 비교하고 정밀조사 및 보강 우선순위를 검토하기 위한 지표로 해석할 필요가 있다.

3.2 제방의 취약도 곡선 작성

제방의 취약도 곡선은 일반적으로 수위와 같은 수리학적 하중강도에 따른 조건부 파괴확률의 관계로 표현된다(Cho, 2022; Rossi et al., 2021). 특히 Cho(2023)는 수위 급강하 조건에서 초기수위 H를 변화시키며 시간의존적 확률론적 해석을 수행하고, 각 수위 조건에서 산정된 최대 파괴확률Pf,max을 이용하여 취약도 곡선을 작성하였다.

본 연구에서도 이와 동일한 개념을 적용하여, 각 초기수위 H 조건의 수위 변동 이력에서 응답면 기법을 이용한 100,000회의 MCS를 수행하여 산정된 파괴확률 중 최대값을 해당 수위 조건의 대표 파괴확률로 정의하고 H-Pf,max 관계를 취약도 곡선으로 작성하였다.

3.2.1 CS-01 단면의 취약도 분석

CS-01 단면에는 1.6m/h의 수위 하강속도를 적용하였고, 초기수위 H=28.20m와 H=25.57m 조건의 시간 이력 결과를 대표적으로 비교하였다. Fig. 6과 Fig. 7은 CS-01 단면의 초기수위 H 조건별 수위 강하 전과 후의 수위에 대한 사면안정 해석 결과를 그래프로 나타낸 것으로, 각 조건의 외부 수위 변화, 결정론적 안전율 및 확률론적 해석의 평균 안전율, 신뢰도 지수와 파괴확률의 변화를 나타냈다.

Fig. 6

Time-dependent stability response of CS-01 at H=28.20m

Fig. 7

Time-dependent stability response of CS-01 at H=25.57m

H=28.20m 조건에서는 t=5.00h에 평균 안전율이 0.87까지 감소하고 MCS 기반 파괴확률은 0.72까지 증가하였다. H=25.57m 조건에서는 t=4.00h에 평균 안전율이 1.0, 최대 파괴확률이 0.58로 나타났다. 초기수위가 낮은 조건은 초기 외부 수압의 지지효과가 작아 초기 안전율이 다소 낮았으나, 최저수위까지의 하강 폭이 작아 수위 하강 과정의 최소 안전율은 오히려 높고 최대 파괴확률은 낮았다. 두 조건 모두 최소 안전율과 최대 파괴확률Pf,max은 최저수위에 도달하기 전의 과도상태에서 발생하였다.

정규분포 및 대수정규분포 가정으로 신뢰도 지수에서 환산한 파괴확률 PfRI(N) 및 PfRI(LN)은 MCS로 구한 직접 산정값 PfMCS와 전반적으로 유사한 시간적 경향을 보였다. 다만 본 연구의 취약도 곡선에는 분포 가정에 의한 환산값이 아니라 MCS에서 직접 산정한 파괴확률을 사용하였다.

Fig. 8은 CS-01 단면에서 초기수위 H 변화에 따른 시간별 파괴확률의 거동과 이를 바탕으로 작성한 취약도 곡선을 나타낸다. Fig. 8(a)는 대표적인 4개 초기수위 H 조건에 대한 Pf-time 관계를 나타내며, 초기수위 H가 증가함에 따라 수위 급강하 과정에서 파괴확률이 증가하는 경향이 뚜렷하게 나타났다. 또한 최대 파괴확률Pf,max의 크기와 발생시점도 초기수위 H 조건에 따라 차이를 보였다. 따라서 파괴확률의 변화는 급강하 과정에서 특정한 하나의 수위를 통과할 때 동일하게 발생하는 현상이라기보다 초기수위 H 조건과 이에 따른 시간의존적 안정성 변화의 영향을 받는 것으로 판단된다.

이러한 초기수위별 시간의존적 파괴확률 거동을 바탕으로 각 초기수위 H에서 산정된 Pf,max을 이용하여 Fig. 8(b)와 같이 취약도 곡선을 작성하였다. 수위 급강하에 의한 사면의 파괴확률은 초기수위 H=19m까지는 매우 작은 값을 유지하지만 그 이상의 수위에서는 초기수위 H가 증가함에 따라 최대 파괴확률Pf,max이 급격하게 증가하였다.

Fig. 8

Time-Dependent Probability of Failure and Fragility Curve for CS-01 under Different Initial Water Levels

3.2.2 CS-22 단면의 취약도 분석

CS-22 단면에는 2.0m/h의 수위 하강속도를 적용하고, 초기수위 H=28.15m와 H=26.12m 조건의 시간 이력 결과를 비교하였다. Fig. 9와 Fig. 10은 CS-01 단면 해석과 동일한 구성으로 CS-22 단면의 초기수위 H 조건별 수위 강하 전과 후의 수위에 대한 사면안정 해석 결과를 그래프로 나타낸 것으로, 각 조건의 외부 수위 변화, 결정론적 및 평균 안전율, 신뢰도 지수와 파괴확률 변화를 나타낸다.

Fig. 9의 초기수위 H=28.15m 조건에서는 평균 안전율이 t=4.50h에 0.59까지 감소하였고, MCS 기반 파괴확률은 t=5.09h에 0.87로 최대가 되었다. Fig. 10의 H=26.12m 조건에서는 t=4.07h에 평균 안전율 0.73과 최대 파괴확률Pf,max 0.79가 산정되었다. 해당 조건에서는 다른 대표 조건과 달리 수위 급강하 종료 시점에서 최소 평균 안전율과 최대 파괴확률Pf,max이 산정되었으며, 이는 데이터 오류가 아니라 초기수위 조건에 따른 임계시점의 차이로 판단된다. CS-01 단면과 마찬가지로 초기수위 H가 낮을수록 수위 하강 폭이 감소하여 수위 하강 과정의 최소 안전율은 증가하고 최대 파괴확률Pf,max은 감소하였다.

Fig. 9

Time-dependent stability response of CS-22 at H=28.15m

Fig. 10

Time-dependent stability response of CS-22 at H=26.12m

Fig. 11은 CS-22 단면에서 초기수위 H 변화에 따른 시간별 파괴확률의 거동과 이를 바탕으로 작성한 취약도 곡선을 나타낸다. Fig. 11(a)는 CS-01 단면과 마찬가지로 초기수위 H 조건에 따른 파괴확률의 시간적 거동을 비교하기 위하여 대표적인 4개 초기수위 H 조건에 대한 Pf​-time 관계를 나타낸 것으로, 초기수위 H가 증가함에 따라 최대 파괴확률Pf,max의 크기가 증가하였으며, 수위 하강시간의 차이에 따라 최대 파괴확률Pf,max의 발생시점도 달라졌다. 특히 일부 초기수위 H 조건에서는 최대 파괴확률Pf,max이 수위 급강하 종료시점에서 발생하였으며, 이는 임계시점이 초기수위 H 조건에 따라 달라질 수 있음을 보여준다.

이후 각 초기수위 H 조건에서 산정된 Pf,max을 이용하여 Fig. 11(b)와 같이 취약도 곡선을 작성하였다. 초기수위 H=19m 부근까지는 최대 파괴확률Pf,max의 변화가 크지 않았으나, 이후 초기수위 H가 증가함에 따라 최대 파괴확률Pf,max이 비선형적으로 증가하였다.

다만 CS-01과 CS-22 단면은 최저수위, 수위 하강속도, 단면 형상 및 지층 조건이 서로 다르므로 취약도 곡선의 절대값을 직접적인 성능 우열로 판단하기보다는, 각 단면에서 초기수위 H 증가에 따른 최대 파괴확률Pf,max의 변화와 취약성 급증 구간을 개별적으로 해석하였다.

Fig. 11

Time-dependent probability of failure and fragility curve for CS-22 under different initial water levels

4. 결 론

본 연구에서는 국내 ○○천 제방의 24개 단면을 대상으로 수위 변동에 따른 비정상 침투해석과 응답면 기법을 이용한 확률론적 사면안정해석을 수행하였다. 24개 단면의 상대적 취약성을 비교하여 상세 검토가 필요한 단면을 선별하고, 이후 대표 취약 단면으로 CS-01과 CS-22 단면을 선정하여 초기수위 H별 최대 파괴확률을 산정하고 취약도 곡선을 작성하였다. 이를 통해 다수 단면의 선별 평가와 취약 단면의 상세 평가를 연계하는 단계적 평가 절차를 적용하였으며, 주요 결론은 다음과 같다.

(1) 24개 단면에 대한 비교 결과, 정규분포 가정의 최소 신뢰도 지수 β_min이 1.0 이하인 단면은 CS-01, CS-05 및 CS-22로 나타났다. 이 중 CS-01과 CS-22의 최대 파괴확률은 각각 40.1%와 60.5%로, CS-05와 나머지 단면보다 상대적으로 크게 나타나 대표 취약 단면으로 선정하였다. 이러한 결과는 동일한 입력 물성 및 해석 절차를 적용하더라도 제체 형상, 지층 구성, 단면별 수위 이력 및 수위 변동에 따른 간극수압 응답의 차이에 의해 단면별 확률론적 안정성이 크게 달라질 수 있음을 보여준다.

(2) 24개 단면 전체에 대해 상세 취약도 곡선을 작성하는 대신, 우선 모든 단면을 동일한 확률론적 해석 체계에서 비교하여 상대적으로 취약한 단면을 선별한 후 대표 단면에 대한 상세 취약도 분석에 집중하였다. 이와 같은 단계적 접근은 다수의 제방 단면 중 정밀조사 또는 추가적인 안정성 검토가 필요한 구간을 우선적으로 선정하고, 한정된 조사·해석 자원을 효율적으로 배분하는 데 활용될 수 있다.

(3) 대표 취약단면에 대해 초기수위 H를 변화시킨 결과, 초기수위가 증가할수록 수위 변동 이력 중 최대 파괴확률이 비선형적으로 증가하였으며, 최대 파괴확률은 CS-01과 CS-22에서 각각 71.9%와 86.9%까지 증가하였다. 또한 임계상태는 초기수위 H 조건에 따라 수위 급강하 과정 중의 과도상태 또는 급강하 종료 시점에서 발생하였다. 이는 수위 급강하 조건에서 최고수위와 최저수위의 정적 상태만을 검토하는 것보다, 수위 변화에 따른 시간의존적 침투거동과 안정성 변화를 함께 고려할 필요가 있음을 의미한다.

(4) 본 연구에서 작성한 취약도 곡선은 개별 제방의 절대적인 파괴위험을 직접 예측하기 위한 값이라기보다, 동일한 자료와 해석 조건에서 다수 단면의 상대적 취약성을 비교하고 정밀조사 및 보강 우선순위를 검토하기 위한 지표로 활용하는 것이 적절하다. 다만 현장별 불포화 수리특성의 직접 측정값, 강도정수의 공간적 변동성, 모델 불확실성 및 사면활동 이외의 파괴모드는 본 연구에서 고려하지 않았으므로, 향후 추가 현장자료와 다양한 파괴모드를 반영한 확률론적 평가를 통해 적용성을 확대할 필요가 있다.